Cho các số thực không âm a. b. c thỏa mãn a + b + c = 3
TÌm GTLN của P = \(a\sqrt{b}+b\sqrt{c}+c\sqrt{a}-\sqrt{abc}\)
Cho các số thực không âm a, b, c thay đổi thỏa mãn \(a^2+b^2+c^2=1\). Tìm GTLN và GTNN của biểu thức \(Q=\sqrt{a+b}+\sqrt{b+c}+\sqrt{c+a}\)
cho số thực không âm thỏa mãn a+b+c=1
tìm Min và Max của \(P=\sqrt{a+b}+\sqrt{b+c}+\sqrt{a+c}\)
Cho ba số thực a,b,c không âm thỏa mãn a + b + c = 3. Tìm GTLN của biểu thức \(K=\sqrt{12a+\left(b-c\right)^2}+\sqrt{12b+\left(a-c\right)^2}+\sqrt{12c+\left(a-b\right)^2}\)
\(K\le\Sigma\sqrt{12a+\left(b+c\right)^2}=\Sigma\sqrt{12a+\left(3-a\right)^2}=\Sigma\sqrt{\left(a+3\right)^2}=12\)
dấu "=" xảy ra khi \(a=b=0;c=3\) và các hoán vị
Cho các số thực không âm a,b,c thỏa mãn a + b + c =2021 .Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = \(\sqrt{a+b}+\sqrt{b+c}+\sqrt{c+a}\)
Áp dụng BĐT Bunhiacopxki ta có:
\(\left(\sqrt{a+b}+\sqrt{b+c}+\sqrt{c+a}\right)^2\le\left(1+1+1\right)\left(a+b+b+c+c+a\right)\)
\(=3\left(2a+2b+2c\right)=3.2\left(a+b+c\right)=6.2021=12126\)
\(\Rightarrow\sqrt{a+b}+\sqrt{b+c}+\sqrt{c+a}\le\sqrt{12126}\)
Dấu ''='' xảy ra khi \(a=b=c=\dfrac{2021}{3}\)
Cho các số thực không âm $a, b, c$ thỏa mãn: $a+b+c=2021$. Tìm giá trị lớn nhất và giả trị nhỏ nhất của biểu thức: $P=\sqrt{a+b}+\sqrt{b+c}+\sqrt{c+a}$.
\(P=\sqrt{a+b}+\sqrt{b+c}\sqrt{c+a}\)
Aps dụng Bunhia-cốpxki : \(P^2=\left(\sqrt{a+b}+\sqrt{b+c}+\sqrt{c+a}\right)\le\left(1+1+1\right)\left(a+b+b+c+c+a\right)\)
\(=6\left(a+b+c\right)\)
\(=6.2021=12126\Leftrightarrow P=\sqrt{12126}\)
Vậy \(Max\left(P\right)=\sqrt{12126}\Leftrightarrow a=b=c=\dfrac{2021}{3}\)
(Refer ;-;)
Tìm các số thực a,b,c không âm thỏa mãn \(\sqrt{a-b+c}=\sqrt{a}-\sqrt{b}+\sqrt{c}\)
cho a,b là các số dương thỏa mãn: a+b+c=3
Tìm GTNN của M=\(\sqrt{a^2+ab+b^2}\)+\(\sqrt{b^2+bc+c^2}+\sqrt{c^2+ca+a^2}\)
\(a^2+ab+b^2=\dfrac{1}{2}\left(a+b\right)^2+\dfrac{1}{2}\left(a^2+b^2\right)\ge\dfrac{1}{2}\left(a+b\right)^2+\dfrac{1}{4}\left(a+b\right)^2=\dfrac{3}{4}\left(a+b\right)^2\)
Tương tự, ta có:
\(M\ge\dfrac{\sqrt{3}}{2}\left(a+b\right)+\dfrac{\sqrt{3}}{2}\left(b+c\right)+\dfrac{\sqrt{3}}{2}\left(c+a\right)=\sqrt{3}\left(a+b+c\right)=3\sqrt{3}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=1\)
a,b,c là các số thực không âm thỏa mãn a+b+c=2. Tìm max và min của \(P=\sqrt{a+b^3c^3}+\sqrt{b+c^3a^3}+\sqrt{c+a^3b^3}\)
Biểu thức này có vẻ chỉ tìm được min chứ ko tìm được max:
Min:
\(P^2=a+b+c+a^3b^3+b^3c^3+c^3a^3+2\sqrt{\left(a+b^3c^3\right)\left(b+c^3a^3\right)}+2\sqrt{\left(a+b^3c^3\right)\left(c+a^3b^3\right)}+2\sqrt{\left(b+c^3a^3\right)\left(c+a^3b^3\right)}\)
\(P^2\ge a+b+c+2\sqrt{ab}+2\sqrt{bc}+2\sqrt{ca}\ge a+b+c=2\)
\(\Rightarrow P\ge\sqrt{2}\)
\(P_{min}=\sqrt{2}\) khi \(\left(a;b;c\right)=\left(0;0;2\right)\) và các hoán vị
Cho a,b,c là các số thực không âm thỏa \(a^2+b^2+c^2=1\). Tìm GTLN và GTNN của \(P=\sqrt{a+b^2}+\sqrt{b+c^2}+\sqrt{c+a^2}\)
\(P^2=a+b+c+a^2+b^2+c^2+2\sqrt{\left(a+b^2\right)\left(b+c^2\right)}+2\sqrt{\left(b+c^2\right)\left(c+a^2\right)}+2\sqrt{\left(a+b^2\right)\left(c+a^2\right)}.\)
Theo bđt Bunhiacopski ta có
\(2\sqrt{\left(a+b^2\right)\left(b+c^2\right)}\ge2\sqrt{b^3}\)(vì \(a,c\ge0\))
Tương tự \(2\sqrt{\left(b+c^2\right)\left(c+a^2\right)}\ge2\sqrt{c^3}\)
\(2\sqrt{\left(c+a^2\right)\left(a+b^2\right)}\ge2\sqrt{a^3}\)
\(\Rightarrow P^2\ge a+b+c+a^2+b^2+c^2+2\sqrt{a^3}+2\sqrt{b^3}+2\sqrt{c^3}\)
Theo gt : \(\hept{\begin{cases}a,b,c\ge0\\a^2+b^2+c^2=1\end{cases}\Rightarrow0\le a,b,c\le1}\)
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}a\ge a^2,b\ge b^2,c\ge c^2\\a^3\ge a^4,b^3\ge b^4,c^3\ge c^4\end{cases}}\)
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}a+b+c\ge a^2+b^2+c^2=1\\2\sqrt{a^3}+2\sqrt{b^3}+2\sqrt{c^3}\ge2\left(a^2+b^2+c^2\right)=2\end{cases}}\)
\(\Rightarrow P^2\ge1+1+2=4\)\(\Rightarrow P\ge2\)
Dấu "=" xảy ra khi a=b=0,c=1 và các hoán vị của nó
Tìm Max
Theo bđt Bunhiacopski ta có
\(P^2\le\left(1+1+1\right)\left(a+b+c+a^2+b^2+c^2\right)\)
\(=3\left(a+b+c+a^2+b^2+c^2\right)\)\(\le3\left(\sqrt{3\left(a^2+b^2+c^2\right)}+a^2+b^2+c^2\right)\)
\(=3\left(1+\sqrt{3}\right)\)
\(\Rightarrow P\le\sqrt{3\left(1+\sqrt{3}\right)}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{\sqrt{3}}\)